目錄物理學(xué)中的群論基礎(chǔ) 物理學(xué)中的群論陶瑞寶pdf 群論在物理中的應(yīng)用 群論有什么作用 群論在生活中的應(yīng)用
群的概念引發(fā)自多項(xiàng)式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在18世紀(jì)30年代開創(chuàng)。在數(shù)學(xué)中，群表示一個(gè)擁有滿足封閉性、結(jié)合律、有單位元、有逆元的二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括阿貝爾群、同態(tài)和共軛類。
就科學(xué)內(nèi)容而言，群論屬于數(shù)學(xué)范疇，在許多數(shù)學(xué)分支中都有它的應(yīng)用。它還被廣泛用于物理、化學(xué)及工程科學(xué)等許多領(lǐng)域，尤其是物理學(xué)成為受惠最多的學(xué)科。從經(jīng)典物理中對稱性和守恒律的研究到量子力學(xué)中角動(dòng)量理論及動(dòng)力學(xué)對稱性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）對稱性在現(xiàn)代基本粒子物理中的應(yīng)用等無不閃耀著群論思想的光輝。 群論是用來研究對稱性的數(shù)學(xué)，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質(zhì)。它也跟物理方程聯(lián)系在一起。基礎(chǔ)物理中常被提到的李群，就類似與伽羅瓦群被用來解代數(shù)方程，與微分方程的嘩姿解密切相關(guān)。
在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉(zhuǎn)群，三維旋轉(zhuǎn)群以及和四維時(shí)空相對應(yīng)的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構(gòu)成了Poincare群。
群論在物理學(xué)上的研究主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：
群是按照某些規(guī)律相互聯(lián)系的元素的集合。在晶體對稱理論中，群的元素是對稱操作。
DEF
1.點(diǎn)陣：晶體粒子所在位置的點(diǎn)在空間的排列。
2.點(diǎn)群（對稱類型）：晶體中所含有的全部宏觀對稱元素至少交于一點(diǎn)，這些匯聚于一點(diǎn)的全部對稱元素的各種組合。
3.空間群：晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)中全部對稱要素的集合 。
NAT
1.布拉菲空間點(diǎn)陣只存在14種。
2.前述旋轉(zhuǎn)及旋轉(zhuǎn)一反演對稱操作所可能有的三維空問點(diǎn)群共有32種。
3.一賣梁切晶體結(jié)構(gòu)中總共只能有230種不同的對稱要素組合方式，即230個(gè)空間群。
自然界中晶體結(jié)構(gòu)的類型很多，卻只可能有14種布拉維格子。群論的引入，使得我們迅速得到一種晶體的所有對稱性及這種對稱性而得到的宏觀物理性質(zhì)。現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，常從新材料具有哪些對稱操作來初步得到材料的物理性質(zhì)。
物理學(xué)中將運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性稱為“對稱性”。在經(jīng)典的物理學(xué)中，主要涉及的是與時(shí)間和空間變換相關(guān)的對稱性。Jacobi等首先注意到經(jīng)典力學(xué)中體系的守恒量與對稱性的聯(lián)系。Noether將變分原理應(yīng)用到物理學(xué)中，證明了Noether定理：對于自然界中每一種對稱性，必存在一個(gè)相應(yīng)的守恒定律；反之，對于每一個(gè)守恒定律，必對應(yīng)有一種對稱性。
群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ)。從群論的角度解決一些量子力學(xué)問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。運(yùn)用群論的方法研究量子的對稱性，可以不通過求解運(yùn)動(dòng)方程得到許多普遍的精確的性質(zhì)。
群論方法的特點(diǎn)在于，只要依據(jù)的對象的對稱性質(zhì)是嚴(yán)格的，則由它得出的結(jié)論必定是精確的、可靠的；特別適當(dāng)研究者對研究對象不是很了解時(shí)，通過對其對稱性的分析可以得出一些帶普遍性的結(jié)論。[3]
參考文獻(xiàn)：
[1]馬中騏, 戴安英, 馬中騏亂配絕,等. 群論及其在物理中的應(yīng)用[J]. 理論物理室, 1988.
[2]朱堯辰. 物理學(xué)中的群論[J]. 國外科技新書評介, 1998(11):3-3.
[3]張強(qiáng). 基于群論的對稱性與守恒律的新表述[J]. 成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2003(1):11-16.
我們知道群論是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它在很多學(xué)科都有重要的應(yīng)用，例如在物理中的應(yīng)用，群論是量子力學(xué)的基礎(chǔ)。本課程的目的是為了使學(xué)生對群論的基本理論有感性的認(rèn)識(shí)和理性的了解。本課程介紹群論的基本理論及某些應(yīng)用。 主要內(nèi)容有：首先介紹群、子群、 群同構(gòu)的概念及有關(guān)性質(zhì)，這是了解群的第一步脊或告。然后較為詳細(xì)地討論了兩類最常見的群：循環(huán)群與置換群，包括一些例題和練習(xí)，可以熟悉群的運(yùn)算和性質(zhì)， 加深對群的理解。并且介紹置換群的某些應(yīng)用。
然后對群論中某些重要的概念作專題討論。首先定義并討論群的子集的運(yùn)算；由群的子集的運(yùn)算，引出并討論了子群的陪集的概念與性質(zhì)。定義并討論了正規(guī)子群與商群的概念與性質(zhì)。借助于商群的概念證明了群同態(tài)基本定理， 從而對群的同態(tài)象作櫻明出了的描述。這部分內(nèi)容是群論中最基本的內(nèi)容，是任何一個(gè)希望學(xué)習(xí)群論的讀者所必須掌握的。并且給出群的直積的概念，這是研究群的結(jié)構(gòu)不可缺少的。
最后是群表示論的基本理論及應(yīng)用，包括矢量空間與函數(shù)空間，矩陣的秩與直積，不變子空間與可約表示、shur 引理、正交理論、特征標(biāo)、正規(guī)函數(shù)、基函數(shù)、表示的直積等的概念。
在群的表示理論之后，就是它在量子力學(xué)中的應(yīng)用，例如從群論的角度解決一些量子力學(xué)問題，主要包括哈密頓算符的對稱性，距陣元定理和選擇定則。從而達(dá)到了解群論的基礎(chǔ)知識(shí)以及有限群的表示理論，為群論在物理學(xué)團(tuán)哪中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)的目的。
Group theory is one of the great simplifying and unifying ideas in modern mathematics, and it has important applications in many scientific fields. For example, group theory is the ground of Quantum Mechanics. It was introduced in order to understand the solutions to polynomial equations, but only in the last one hundred years has its full significance, as a mathematical formulation of symmetry, been understood. It plays a role in our understanding of fundamental particles, the structure of crystal lattices and the geometry of molecules. In this unit we will study the simple axioms satisfied by groups and begin to develop basic group theory in an axiomatic way. The aim of the course is to introduce students to the concept of groups, the notion of an axiomatic system through the example of group theory, to investigate elementary properties of groups, to illustrate these with a number of important examples, such as general linear groups and symmetric groups.
We give the necessary notations and basic definitions that we use throughout the thesis. First the concept of subclass is defined and discussed, the concept of the coset, the problems group factorization, coset. intersection, and double coset member for the subclass, etc. The content of this part is the most basic content and is necessary to learn for students.
An important tool for the study of groups (particularly finite groups and with compact groups) is representation theory. Broadly speaking, this asks for possible ways to view a group as a permutation group or a linear group. A number of attractive areas of representation theory link representations of a group with those of its subgroups, especially normal subgroups, algebraic subgroups, and local subgroups. Representation theory also considers images of groups in the automorphism groups of other abelian groups than simply complex vector spaces; these then are the group modules. (This is a somewhat more flexible setting than abstract group theory, since we move into an additive category); modular representation theory studies the case in which the modules are vector spaces over fields with positive characteristic.
At last, the course is on the application of group theory to Quantum Mechanics. We consider a symmetry operation of the system. Symmetry operation transform to the Hamilton operator symmetry, which is associated with the representation matrix. So there is matrix element theorem, and theory choice.
方程論是古典代數(shù)的中心課題。直到19世紀(jì)中葉，代數(shù)仍是一門以方程式論為中心的數(shù)學(xué)學(xué)科，代數(shù)方程的求解問題依然是代數(shù)的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數(shù)可解），就是這個(gè)方程的解由該方程的系數(shù)經(jīng)過有限次加減乘除以及開整數(shù)次方等運(yùn)算表示出來的。群論也就是起源于對代數(shù)方程的研究，它是人們對代數(shù)方程求解問題邏輯考察的結(jié)果。本文正是從方程論的發(fā)展入手，闡述伽羅瓦群論的產(chǎn)生過程，及其伽羅瓦理論的實(shí)質(zhì)。
一. 伽羅瓦群論產(chǎn)生的歷史背景
從方程的根式解法發(fā)展過程來看，早在古巴比倫數(shù)學(xué)和印度數(shù)學(xué)的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當(dāng)于+，，這是對系數(shù)函數(shù)求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數(shù)字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個(gè)問題直到文藝復(fù)興的極盛期（即16世紀(jì)初）才由意大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根x= +，其中p=ba2，q=a3，顯然它是由系數(shù)的函數(shù)開三次方所得。同一時(shí)期，意大利人費(fèi)爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數(shù)的函數(shù)開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀(jì)已獲得圓滿解決，但是在以后的幾個(gè)世紀(jì)里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結(jié)果。1770年前后，法國數(shù)學(xué)家拉格朗日轉(zhuǎn)變代數(shù)的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數(shù)方程的關(guān)鍵所在，并利用拉格朗日預(yù)解式方法，即利用1的任意n次單位根（n=1）引進(jìn)了預(yù)解式x1+x2+2x3+…+n-1xn，詳細(xì)分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進(jìn)了代數(shù)方程論的進(jìn)步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，于是他懷疑五次方程無根式解。并且他在尋求一般n次方程的代數(shù)解法時(shí)也遭失敗，從而認(rèn)識(shí)到一般的四次以上代數(shù)方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給后人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預(yù)解式不可能是四次以下的，從而轉(zhuǎn)證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數(shù)學(xué)家高斯開辟了一個(gè)新方法，在證明代數(shù)基本理論時(shí)，他不去計(jì)算一個(gè)根，而是證明它的存在。隨后，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質(zhì)數(shù)）可用根式求解，這表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進(jìn)一步查明。
隨后，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾開始解決這個(gè)問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什么性質(zhì)，于是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴(yán)格證明：如果一個(gè)方程可以根式求解，則出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數(shù)。并且利用這個(gè)定理又證明出了阿貝爾定理：一般高于四次的方程不可能代數(shù)地求解。接著他進(jìn)一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎(chǔ)上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發(fā)現(xiàn)這類特殊方程的特點(diǎn)是一個(gè)方程的全部根都是其中一個(gè)根（假設(shè)為x）的有理函數(shù)，并且任意兩個(gè)根Q1(x)與Q2(x)滿足Q1Q2(x)=Q2Q1(x)，Q1，Q2為有理函數(shù)。現(xiàn)在稱這種方程為阿貝爾方程。其實(shí)在對阿貝爾方程的研究中已經(jīng)涉及到了群的一些思想和特殊結(jié)果，只是阿貝爾沒能意識(shí)到，也沒有明確地構(gòu)造方程根的置換集合（因?yàn)槿舴匠趟械母加酶鵻1來表示成有理函數(shù)Qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當(dāng)用另一個(gè)根xI代替x1時(shí)，其中1〈I≤n ，那么Qj(xI)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實(shí)際上應(yīng)說根xI=Q1(xI),Q2(xI),…,Qn(xI)是根x1,x2,…,xn的一個(gè)置換），而僅僅考慮可交換性Q1Q2(x)=Q2Q1(x)來證明方程只要滿足這種性質(zhì)，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構(gòu)造任意次數(shù)的代數(shù)可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業(yè)。
二.伽羅瓦創(chuàng)建群理論的工作
伽羅瓦仔細(xì)研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項(xiàng)式方程的可解性理論，他并不急于尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。
1.伽羅瓦群論的創(chuàng)建
伽羅瓦在證明不存在一個(gè)五次或高于五次的方程的一般根式解法時(shí)，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當(dāng)他地研究了方程根的排列置換性質(zhì)后，提出了一些確定的準(zhǔn)則以判定一個(gè)已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導(dǎo)致他去考慮一種稱之為“群”的元素集合的抽象代數(shù)理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了“群”這一術(shù)語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認(rèn)為了解置換群是解決方程理論的關(guān)鍵，方程是一個(gè)其對稱性可用群的性質(zhì)描述的。他從此開始把方程論問題轉(zhuǎn)化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關(guān)群論的新概念，從而也產(chǎn)生了他自己的伽羅瓦群論，因此后人都稱他為群論的創(chuàng)始人。
對有理系數(shù)的n次方程
x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0（1） ，
假設(shè)它的n個(gè)根x1,x2,…,xn的每一個(gè)變換叫做一個(gè)置換，n個(gè)根共有n!個(gè)可能的置換，它們的集合關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個(gè)群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質(zhì)中有所反映，于是伽羅瓦把代數(shù)方程可解性問題轉(zhuǎn)化為與相關(guān)的置換群及其子群性質(zhì)的分析問題。現(xiàn)在把與方程聯(lián)系起的置換群（它表現(xiàn)了方程的對稱性質(zhì)）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數(shù)域中的群。一個(gè)方程的伽羅瓦群是對于每一個(gè)其函數(shù)值為有理數(shù)的關(guān)于根的多項(xiàng)式函數(shù)都滿足這個(gè)要求的最大置換群，也可以說成對于任一個(gè)取有理數(shù)值的關(guān)于根的多項(xiàng)式函數(shù)，伽羅瓦群中的每個(gè)置換都使這函數(shù)的值不變。
2.伽羅瓦群論的實(shí)質(zhì)
我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領(lǐng)悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構(gòu)造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設(shè)它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構(gòu)造了類似于拉格朗日預(yù)解式的關(guān)于x1,x2,…,xn的一次對稱多項(xiàng)式
△1=A1x1+A2x2+…+Anxn，
其中AI(I=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數(shù)且使得n!個(gè)形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構(gòu)造了一個(gè)方程
=0(2) ，
該方程的系數(shù)必定為有理數(shù)（可由對稱多項(xiàng)式定理證明），并且能夠分解為有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式之積。設(shè)F(x)=是 的任意一個(gè)給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個(gè)△I中的這m個(gè)排列的全體。同時(shí)他又由韋達(dá)定理
知伽羅瓦群也是一個(gè)對稱群，它完全體現(xiàn)了此方程的根的對稱性。但是計(jì)算一個(gè)已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的并不在于計(jì)算伽羅瓦群，而是證明：恒有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群S(n)，S(n)是由n!個(gè)元素集合構(gòu)成的，S(n)中的元素乘積實(shí)際上是指兩個(gè)置換之積。現(xiàn)在把S(n)中的元素個(gè)數(shù)稱為階，S(n)的階是n!。
伽羅瓦找出方程系數(shù)域中的伽羅瓦群G后，開始尋找它的最大子群H1，找到H1后用一套僅含有理運(yùn)算的手續(xù)（即尋找預(yù)解式）來找到根的一個(gè)函數(shù)。的系數(shù)屬于方程的系數(shù)域R，并且在H1的置換下不改變值，但在G的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找H1的最大子群H2，H2的最大子群H3，…于是得到H1,H2,…,Hm，直到Hm里的元素恰好是恒等變換（即Hm為單位群I）。在得到一系列子群與逐次的預(yù)解式的同時(shí)，系數(shù)域R也隨之一步步擴(kuò)大為R1,R2,…,Rm，每個(gè)RI對應(yīng)于群HI。當(dāng)Hm=I時(shí)，Rm就是該方程的根域，其余的R1,R2,…,Rm-1是中間域。一個(gè)方程可否根式求解與根域的性質(zhì)密切相關(guān)。例如，四次方程
x4+px2+q=0(3)，
p與q獨(dú)立，系數(shù)域R添加字母或未知數(shù)p、q到有理數(shù)中而得到的域，先計(jì)算出它的伽羅瓦群G，G是S(4)的一個(gè)8階子群，G={E，E1，E2，…E7}，其中
E=，E1=，E2=，E3=，E4=，E5=，E6=，E7=。
要把R擴(kuò)充到R1，需在R中構(gòu)造一個(gè)預(yù)解式，則預(yù)解式的根，添加到R中得到一個(gè)新域R1，于是可證明原方程（3）關(guān)于域R1的群是H1，H1={E，E1，E2，E3}，并發(fā)現(xiàn)預(yù)解式的次數(shù)等于子群H1在母群G中的指數(shù)8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構(gòu)造第二個(gè)預(yù)解式，解出根，于是在域R1中添加得到域R2，同樣找出方程（3）在R2中的群H2，H2={E，E1}，此時(shí)，第二個(gè)預(yù)解式的次數(shù)也等于群H2在H1中的指數(shù)4÷2=2。第三步，構(gòu)造第三個(gè)預(yù)解式，得它的根，把添加到R2中得擴(kuò)域R3，此時(shí)方程（3）在R3中的群為H3，H3={E}，即H3=I，則R3是方程（3）的根域，且該預(yù)解式的次數(shù)仍等于群H3在H2中的指數(shù)2÷1=2。在這個(gè)特殊的四次方程中，系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對于一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數(shù)域到根域的擴(kuò)域過程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。
現(xiàn)仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發(fā)現(xiàn)了這些預(yù)解式實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二次的二項(xiàng)方程，既然可解原理對高次方程也適用，那么對于能用根式求解的一般高次方程，它的預(yù)解式方程組必定存在，并且所有的預(yù)解式都應(yīng)是一個(gè)素?cái)?shù)次p的二項(xiàng)方程xp=A。由于高斯早已證明二項(xiàng)方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預(yù)解式都是二項(xiàng)方程，則能用根式求解原方程。于是，伽羅瓦引出了根式求解原理，并且還引入了群論中的一個(gè)重要概念“正規(guī)子群”。
他是這樣給正規(guī)子群下定義的：設(shè)H是G的一個(gè)子群，如果對G中的每個(gè)g都有g(shù)H=Hg，則稱H為G的一個(gè)正規(guī)子群，其中g(shù)H表示先實(shí)行置換g，然后再應(yīng)用H的任一元素，即用G的任意元素g乘H的所有置換而得到的一個(gè)新置換集合。定義引入后，伽羅瓦證明了當(dāng)作為約化方程的群(如由G 約化到H1)的預(yù)解式是一個(gè)二項(xiàng)方程xp=A (p為素?cái)?shù))時(shí)，則H1是G的一個(gè)正規(guī)子群。反之，若H1是G的正規(guī)子群，且指數(shù)為素?cái)?shù)p，則相應(yīng)的預(yù)解式一定是p次二項(xiàng)方程。他還定義了極大正規(guī)子群：如果一個(gè)有限群有正規(guī)子群，則必有一個(gè)子群，其階為這有限群中所有正規(guī)子群中的最大者，這個(gè)子群稱為有限群的極大正規(guī)子群。一個(gè)極大正規(guī)子群又有它自己的極大正規(guī)子群，這種序列可以逐次繼續(xù)下去。因而任何一個(gè)群都可生成一個(gè)極大正規(guī)子群序列。他還提出把一個(gè)群G生成的一個(gè)極大正規(guī)子群序列標(biāo)記為G、H、I、J…, 則可以確定一系列的極大正規(guī)子群的合成因子[G/H]，[H/I]，[I/G]…。合成因子[G/H]=G的階數(shù)/ H的階數(shù)。對上面的四次方程(3)，H1是G的極大正規(guī)子群， H2是H1的極大正規(guī)子群，H3又是H2的極大正規(guī)子群，即對方程(3)的群G 生成了一個(gè)極大正規(guī)子群的序列G、H1、H2、H3。
隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發(fā)現(xiàn)對于一個(gè)給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最后，伽羅瓦提出了群論的另一個(gè)重要概念“可解群”。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)。
根據(jù)伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規(guī)合成因子都是質(zhì)數(shù)時(shí)，方程可用根式求解。若不全為質(zhì)數(shù)，則不可用根式求解。由于引入了可解群，則可說成當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)方程系數(shù)域上的群是可解群時(shí)，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[G/H]=8/4=2，[H1/H2]=2/1=2，2為質(zhì)數(shù)，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當(dāng)n=3時(shí)，有兩個(gè)二次預(yù)解式t2=A和t3=B，合成序列指數(shù)為2與3，它們是質(zhì)數(shù)，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個(gè)二次預(yù)解式，合成序列指數(shù)為2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規(guī)子群是A(n) (實(shí)際A(n)是由s(n)中的偶置換構(gòu)成的一個(gè)子群。如果一個(gè)置換可表為偶數(shù)個(gè)這類置換之積，則叫偶置換。)，A(n)的元素個(gè)數(shù)為s(n)中的一半，且A(n)的極大正規(guī)子群是單位群I，因此[s(n)/A(n)]=n!/(n!/2)=2，[A(n)/I]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質(zhì)數(shù)，但當(dāng)n ≥5時(shí)，n！/2不是質(zhì)數(shù)，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。
順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發(fā)點(diǎn)與伽羅瓦不同，但他們的結(jié)果都是相同的，都為了證其為可解群，并且伽羅瓦還把阿貝爾方程進(jìn)行了推廣，構(gòu)造了一種現(xiàn)在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個(gè)根都是其中兩個(gè)根的帶有系數(shù)域中系數(shù)的有理函數(shù)。
四.伽羅瓦群論的歷史貢獻(xiàn)
伽羅瓦創(chuàng)立群論是為了應(yīng)用于方程論，但他并不局限于此，而是把群論進(jìn)行了推廣，作用于其他研究領(lǐng)域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深?yuàn)W，對十九世紀(jì)初的人們來說是很難理解的，連當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)大師都不能理解他的數(shù)學(xué)思想和他的工作的實(shí)質(zhì)，以至他的論文得不到發(fā)表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時(shí)便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀(jì)六十年代，他的理論才終于為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認(rèn)為十九世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數(shù)學(xué)家們長達(dá)數(shù)百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規(guī)作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領(lǐng)域，以結(jié)構(gòu)研究代替計(jì)算，把從偏重計(jì)算研究的思維方式轉(zhuǎn)變?yōu)橛媒Y(jié)構(gòu)觀念研究的思維方式，并把數(shù)學(xué)運(yùn)算歸類，使群論迅速發(fā)展成為一門嶄新的數(shù)學(xué)分支，對近世代數(shù)的形成和發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。同時(shí)這種理論對于物理學(xué)、化學(xué)的發(fā)展，甚至對于二十世紀(jì)結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展都發(fā)生了巨大的影響。
參考文獻(xiàn)：
M·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想．北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯．上海：上海
科學(xué)技術(shù)出版社，1980．
魯又文編著．?dāng)?shù)學(xué)古今談．天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1984．
中外數(shù)學(xué)簡史編寫組．外國數(shù)學(xué)簡史．山東：山東教育出版社，1987．
吳文俊主編．世界著名科學(xué)家傳記．北京：科學(xué)出版社，1994．
Tony Rothman：”伽羅瓦傳”，《科學(xué)》，重慶，科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社重慶分社，1982年第8 期，第81～92頁．
群論作為研究對稱性的理論，它被引入物理就是用來描寫物理學(xué)中的對稱性的，是一個(gè)強(qiáng)大的。我們用群，就是因?yàn)樗男再|(zhì)可以用以描寫自然的對稱性，這一點(diǎn)上，是高度統(tǒng)一的。物理上用到嘩州的所謂群表示論，本質(zhì)上可以說是用物理體系的對稱性的具體實(shí)現(xiàn)過程。
不理解群論，也能做很多工作，但是有亂御蔽一個(gè)缺點(diǎn)就是許多物理概念你沒法深刻理解。對稱性在現(xiàn)代物理中有至關(guān)重要的作用，比如規(guī)范理論就是最明顯的例子。溫伯格曾提出，量子場論本質(zhì)上是三個(gè)原理之上的自然結(jié)果
洛倫茲不變性（即對稱性）
量子力學(xué)
簇分解原理
沒有對稱性的研究，想理解場論恐怕是做不到的。總之，群論一定要好好學(xué)，用的時(shí)候?qū)W，當(dāng)你真正能理解群及其表示的意義的時(shí)候，你才能有一種真拆頃正理解了物理上對稱性的意義的感覺。
群論，是數(shù)學(xué)概念。在數(shù)學(xué)隱塵慧和抽象代數(shù)中，群論研究名為群的代數(shù)結(jié)構(gòu)。群在抽象代數(shù)中具灶答有基本的重要地位：許多代數(shù)結(jié)構(gòu)，包括環(huán)、域和模等可以看作是在群的基礎(chǔ)上添加新的運(yùn)算和公理而形成的。群的概念在數(shù)學(xué)的許多分支都有出現(xiàn)，而且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其它分支有重要影響。
群論的重要性還體現(xiàn)在物理學(xué)和化學(xué)的研究中，因?yàn)樵S多不同的物理結(jié)構(gòu)，如晶體結(jié)構(gòu)和氫兄譽(yù)原子結(jié)構(gòu)可以用群論方法來進(jìn)行建模。于是群論和相關(guān)的群表示論在物理學(xué)和化學(xué)中有大量的應(yīng)用。
擴(kuò)展資料：
群的概念引發(fā)自多項(xiàng)式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在18世紀(jì)30年代開創(chuàng)。在得到來自其他領(lǐng)域如數(shù)論和幾何學(xué)的貢獻(xiàn)之后，群概念在1870年左右形成并牢固建立。現(xiàn)代群論是非常活躍的數(shù)學(xué)學(xué)科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數(shù)學(xué)家發(fā)明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。
參考資料來源：-抽象代數(shù)
參考資料來源：-群論
群論是定量刻畫對稱性的理論。在理論物理中，對稱性有著十分重要的地位。對稱舉如性分析正笑啟不僅能降低特定問題的自由度，簡化特定物理問題，而且用對升型稱性破缺是物理學(xué)結(jié)構(gòu)形成的一個(gè)重要內(nèi)容。群論提供了描述這一基礎(chǔ)特性的數(shù)學(xué)。
