數學形態學？數學形態學（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、那么，數學形態學？一起來了解一下吧。
數學形態學（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換、灰值腐蝕和膨脹、灰值開閉運算、灰值形態學梯度等。
膨脹 dilation
考慮兩幅二值圖像A,B。它們的前景用黑色，背景用白色。另fA和fB表示各自前景點的集合。定義膨脹運算為：dilation(A,B) = {a+b| a∈A,b∈B}。比如： A = {(2,8),(3,6),(4,4),(5,6),(6,4),(7,6),(8,8)} B = {(0,0),(0,1)} dilation(A,B) = {(2,7),(2,8),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(7,5),(7,6),(8,7),(8,8)}
腐蝕 erosion
同樣考慮兩幅圖像A,B。定義腐蝕運算為: erosion(A,B) = {a|(a+b)∈A, a∈A,b∈B}.
膨脹腐蝕運算的性質
交換律 dilation(A,B) = dilation(B,A) 結合律 dilation(dilation(A,B),C) = dilation(A,dilation(B,C)) 并集 dilation(A,B∪C) = dilation(A,B)∪dilation(A,C) 增長性 if A blongs to B then dilation(A,K) blongs to dilation(B,K)
歷史
數學形態學誕生于1964年，由當時法國巴黎礦業學院的馬瑟榮（G. Matheron）和賽拉（J. Serra）兩人共同奠定了其理論基礎。
數學形態學的基本思想及方法適用于與圖像處理有關的各個方面，如基于擊中/擊不中變換的目標識別，基于流域概念的圖像分割， 基于腐蝕和開運算的骨架抽取及圖像編碼壓縮，基于測地距離的圖像重建，基于形態學濾波器的顆粒分析等。迄今為止， 還沒有一種方法能像數學形態學那樣既有堅實的理論基礎，簡潔、 樸素、 統一的基本思想，又有如此廣泛的實用價值。有人稱數學形態學在理論上是嚴謹的，在基本觀念上卻是簡單和優美的。
數學形態學是一門建立在嚴格數學理論基礎上的學科，其基本思想和方法對圖像處理的理論和技術產生了重大影響。事實上， 數學形態學已經構成一種新的圖像處理方法和理論，成為計算機數字圖像處理及分形理論的一個重要研究領域， 并且已經應用在多門學科的數字圖像分析和處理的過程中。這門學科在計算機文字識別， 計算機顯微圖像分析(如定量金相分析，顆粒分析)， 醫學圖像處理（例如細胞檢測、心臟的運動過程研究、 脊椎骨癌圖像自動數量描述），圖像編碼壓縮， 工業檢測(如食品檢驗和印刷電路自動檢測)，材料科學， 機器人視覺，汽車運動情況監測等方面都取得了非常成功的應用。另外，數學形態學在指紋檢測、經濟地理、合成音樂和斷層X光照像等領域也有良好的應用前景。
數學形態學是由一組形態學的代數運算子組成的，它的基本運算有4個： 膨脹（或擴張）、腐蝕（或侵蝕）、開啟和閉合， 它們在二值圖像和灰度圖像中各有特點?；谶@些基本運算還可推導和組合成各種數學形態學實用算法，用它們可以進行圖像形狀和結構的分析及處理，包括圖像分割、特征抽取、邊緣檢測、 圖像濾波、圖像增強和恢復等。數學形態學方法利用一個稱作結構元素的“探針”收集圖像的信息，當探針在圖像中不斷移動時， 便可考察圖像各個部分之間的相互關系，從而了解圖像的結構特征。數學形態學基于探測的思想，與人的FOA(Focus Of Attention)的視覺特點有類似之處。作為探針的結構元素，可直接攜帶知識（形態、大小、甚至加入灰度和色度信息）來探測、研究圖像的結構特點。
數學形態學(Mathematical Morphology)誕生于1964年，是由法國巴黎礦業學院博士生賽拉(J. Serra)和導師馬瑟榮，在從事鐵礦核的定量巖石學分析及預測其開采價值的研究中提出“擊中/擊不中變換”， 并在理論層面上第一次引入了形態學的表達式，建立了顆粒分析方法。他們的工作奠定了這門學科的理論基礎， 如擊中/擊不中變換、開閉運算、布爾模型及紋理分析器的原型等。數學形態學的基本思想是用具有一定形態的結構元素去量度和提取圖像中的對應形狀以達到對圖像分析和識別的目的。
數學形態學（mathematical morphology）是數字圖像處理領域中的一門新興學科，它是研究數字圖像影像結構特征與快速并行處理方法的理論。數學形態學是建立在集合論的基礎上，并溶入了積分幾何理論。其主要思想是通過使用一種稱為結構元素的已知結構小影像特征集合與影像目標相比較來完成各種復雜的運算——形態變換。數學形態學可用來進行二值圖像、灰度圖像及彩色圖像的分析。但基于大多數礦圖的現狀，我們重點研究了二值圖像的形態變換。
設X、Y為待處理的二值圖像，B是所使用的結構元素，通常B是由3×3窗口所定義（最小結構元素），則可定義如下基本形態變換：
（1）膨脹（Dilation）
工礦區環境動態監測與分析研究
它是結構元素B在圖像X所有目標元素位置上平移后點的軌跡。
（2）腐蝕（Erosion）
工礦區環境動態監測與分析研究
它是把結構元素B平移后放于圖像X的某個位置上，當B上各點都與X上相應點重合時，B的原點位置的軌跡。
（3）斷開（Opening）
工礦區環境動態監測與分析研究
它是對圖像X先腐蝕后膨脹，其結果是X中能恰好完全包含B的部分，從而去掉圖像上的微小連接、毛刺和凸出部分。
（4）閉合（Closing）
工礦區環境動態監測與分析研究
與斷開運算相反，閉合運算能去掉圖像X中的小孔和凹部并連接斷線。
以上就是數學形態學的全部內容，數學形態學（mathematical morphology）是數字圖像處理領域中的一門新興學科，它是研究數字圖像影像結構特征與快速并行處理方法的理論。數學形態學是建立在集合論的基礎上，并溶入了積分幾何理論。
